Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點，DE⊥AB于E，交AC于F．連接BD交AC于G．
（1）求證：∠DAC=∠ADE；
（2）若⊙O半徑為5，OE=3，求DE、DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據D是的中點，可以確定∠DBA=∠DAC；再根據AB是⊙O的直徑，可知∠ADB=90°；則據此即可確定∠DBA=∠ADE，即∠DAC=∠ADE；
（2）根據勾股定理可以直接求得DE；再設DF=x，則在Rt△AFE中，由AF²=FE²+AE²，可以求得x的長度．
解答：（1）證明：連接OD，
∵D是的中點，
∴∠DBA=∠DAC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠DAB+∠EDA=90°．
∴∠DBA=∠EDA．
∴∠DAC=∠ADE．

（2）解：在Rt△ODE中，DE=，設DF=x，
∵∠DAC=∠ADE，
∴DF=AF=x，FE=4-x．
在Rt△AFE中，由AF²=FE²+AE²，AE=2，得：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
答：DE為4，DF值為2.5．
點評：本題是綜合考查了圓周角定理以及勾股定理；在做題時一定要仔細認真．