Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE切⊙O于點C，AE⊥CE且交⊙O于點D．
求證：（1）DC=BC；
（2）BC²=AB•DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD．AB是⊙O直徑，根據直徑對的圓周角是直角得，∠ADB=90°，又∠AEC=90°，根據垂直于同一直線的兩條直線平行知，BD∥CE，由兩直線平行，內錯角相等知，∠DAC=∠ACO，由等邊對等角知，∠CAO=∠ACO，故有∠DAC=∠CAB，由同圓的等角對的弧相等得，弧DC=弧BC，再由弧對的弦相等得DC=BC；
（2）由弦切角定理知，∠ECD=∠DAC=∠CAB，又∠ACB=∠DEC，則由兩個對應角相等的三角形是相似三角形知，△DCE∽△BCA，根據相似三角形的性質知，=，而DC=BC，故有BC²=AB•DE．
解答：證明：（1）連接BD，OC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，又∵∠AEC=90°，
∴BD∥CE，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴弧DC=弧BC，
∴DC=BC．

（2）∵弧DC=弧BC，CE切⊙O于C，
∴∠DCE=∠BAC．
又AB是⊙O直徑，
∴∠CED=∠ACB=90°．
∴△DCE∽△BCA即=，而DC=BC．
∴BC²=AB•DE．
點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，平行線的判定和性質，等邊對等角，同圓的等角對的弧相等和弧對的弦相等，弦切角定理，相似三角形的判定和性質求解．