Question

如圖，矩形ABCD中，點E為矩形的邊CD上任意一點，點P為線段AE中點，連接BP并延長交邊AD于點F，點M為邊CD上一點，連接FM，且∠1=∠2．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的長；
（2）求證：PB=PF+FM．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AP的長；
（2）延長BF交CD的延長線于點N，首先證明△APB和△EPN全等，得到PB=PN，再根據已知條件證明FN=FM即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵AD=2，DE=1，
∴AE==，
∵點P為線段AE中點，
∴AP=AE=；

（2）延長BF交CD的延長線于點N，
∵點P為線段AE中點，
∴AP=PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，
∵在△APB和△EPN中，
，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴PB=PN，
∵∠1=∠2，∠2=∠N，
∴∠1=∠N，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，
∴PB=PF+FM．
點評：本題考查了矩形的性質、勾股定理的運用、全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定和性質．