Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E在BC上，且∠DAE=45°，現(xiàn)將△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABE′處，連接DE′和EE′，則下列結(jié)論中 

①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形   ④AD⊥EE′⑤BD²+CE²=DE²

正確的有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：（1）由外角的性質(zhì)和題意可推出∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠ABD=∠C=45°，即可推出∠ADE=∠BAE；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，再由∠EAC+∠BAE=90°，可知∠EAE′=90°，即可推出△AEE′是等腰直角三角形；（3）由∠DAE=45°，∠BAC=90°，可知∠EAC+∠BAD=45°，又因?yàn)椤螮AC=∠BAE′，推出∠DAE′=∠EAD=45°，即得AD⊥EE′；（4）因?yàn)椤螩=∠E′BA=∠ABD=45°，可求出△E′BD為直角三角形，再由EC=E′B，根據(jù)勾股定理，通過等量代換即可推出BD²+CE²=DE²．
解答：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠BAE；
（2）∵△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABE′處，
∴AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAE′+∠BAE=90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形；
（3）∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAD=45°，
∵∠EAC=∠BAE′，
∴∠DAE′=∠EAD=45°，
∵△AEE′是等腰直角三角形，
∴AD⊥EE′，
（4）∵∠C=∠E′BA=∠ABD=45°，
∴∠E′BD=90°，
∵EC=E′B，
∴BD²+CE²=DE²，
∴②③④⑤項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形等相關(guān)的性質(zhì)定理，關(guān)鍵在于逐項(xiàng)分析解答，正確的運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理進(jìn)行分析．