Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．動點P、Q分別在線段BC和MC上運動（不與端點重合），且∠MPQ=60°保持不變．以下四個結論：①梯形ABCD是等腰梯形；②△BMP∽△CPQ；③△MPQ是等邊三角形；④設PC=x，MQ=y，則y關于x的函數解析式是二次函數．
（1）判斷其中正確的結論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結論中選一個加以證明．

Answer 1

解：（1）①∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
∵AM=DM，
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．故①正確；
②∵∠1+∠MPB=120°，∠2+∠MPB=180°-∠MPQ=120°，
∴∠1=∠2，
∵∠MBP=∠MPQ=60°，
∴△BMP∽△CPQ．故②正確；
③∵MP不一定等于PQ，
∴△MPQ不一定是等邊三角形．故③錯誤；
④∵△BMP∽△CPQ，
∴，
∵BC=4，
∴MB=MC=4，
∵PC=x，MQ=y，則BP=4-x，CQ=4-y，
∴，
∴y=x²-x+4，故④正確．
∴正確的是①②④；
（2）選①的證明：
思路：證明△ABM≌△DCM（SAS）；
∴AB=DC，
∴ABCD是等腰梯形；
選②的證明：∠MBP=∠PCQ=60°，∠1+60°=∠2+60°（外角），
∴∠1=∠2，
∴△BMP∽△CPQ；
選④的證明：先證明相似，過程同②：△BMP∽△CPQ，
∴，
即，
∴y=x²-x+4．
分析：（1）①首先由等邊三角形的性質，易證：△AMB≌△DMC，則可證得AB=CD，即得四邊形ABCD是等腰梯形；
②利用有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△BMP∽△CPQ；
③由MP不一定等于PQ，即可知：△MPQ不一定是等邊三角形；
④由相似三角形的對應邊成比例即可求得y與x的關系．
（2）根據（1）中的分析，選擇①②④中的任一個證明即可．
點評：此題考查了梯形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質等知識．此題綜合性很強，題目難度較大，注意數形結合思想的應用．