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如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是______．

因為每個三角形都是等邊的，從其中一個三角形入手，
比如右下角的第二小的三角形，設它的邊長為x，
則等邊三角形的邊長依次為x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
所以六邊形周長是，
2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）=7x+9a，
而最大的三角形的邊長等于第二小的三角形邊長的2倍，
即x+3a=2x，
故x=3a．
所以周長為7x+9a=30a．

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如圖，正六邊形DEFGHI的頂點都在邊長為6cm的正三角形ABC的邊上，則這個正六邊形的邊長是______cm．

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如圖，△ABC以點A旋轉中心，按逆時針方向旋轉60°得到△AB′C′，則△ABB′是______三角形．

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有一邊長為20m的等邊△ABC的場地，一個機器人從邊AB上點P出發，先由點P沿平行于BC的方向運動到AC邊上的點P₁，再由P_l沿平行于AB方向運動到BC邊上的點P₂，又由點P₂沿平行于AC方向運動到AB邊上的點P₃，…，一直按上述規律運動下去，則機器人至少要運動______m才能回到點P．

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在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數是（　　）

A．10°

B．15°

C．20°

D．25°

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如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．
（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并結合圖①證明你的結論；
（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論是否成立？若成立，請結合圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；
（3）若AC=3，點D在直線BC上移動的過程中，是否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請說明理由．