Question

如圖，在邊長為2個單位長度的正方形ABCD中，點O、E分別是AD、AB的中點，點F是以點O為圓心，OE長為半徑的圓弧與DC的交點，點P是上的動點，連接OP并延長交直線BC于K．
（1）當P從E點沿運動到F時，K運動了多少單位長度？
（2）過點P作所在圓的切線，當該切線不與BC平行時，設它與射線AB、直線BC分別交于M、G，
①當K與B重合時，BG：BM=？
②在P運動過程中，是否存在BG：BM=3的情況？若存在，求出BK的值；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OE、OF，并延長OE、OF分別交直線BC于N、Q，
當P從點E運動到點F時，點K從點N運動到了點Q；
∵O、E分別為AD、AB的中點，
∴OA=AE=BE=1，
又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，
∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，
同理可得CQ=1；
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即點K運動了4個單位長度．

（2）①當K、B重合時，
∵MG與弧EF所在的圓相切，且切點為P，
∴OB⊥MG，
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，
∴∠OBA=∠BGM，
又∵∠MBG=∠OAB=90°，
∴△OAB∽△MBG，得：
，由于BA=2OA，則BG：BM=2．

②存在BG：BM=3的情況，理由如下：
假設存在符合條件的P點，使得BG：BM=3，過K作KH⊥OA于H，
則四邊形ABKH為矩形，有KH=AB=2；
∵MG與弧EF相切于點P，
∴OK⊥MG，且垂足為P，
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠G+∠2=90°，則∠1=∠G；
∵∠OHK=∠GBM=90°，
∴△OHK∽△MGB，
∴，
∴OH=，AH=BK=；
∴存在符合題意的K點，使得BG：BM=3；
同理可得：在線段BC、CD以及CB的延長線上，存在這樣的點K′、M″、G′，
使得CK′=，CG′：CM″=3；
連接G′M″交AB于M′，則BG′：BM′=CG′：CM″=3；
此時BK′=BC-K′C=2-=，即BK的值為或．
分析：（1）當K是射線OE與直線BC的交點時，K運動到最左端，當K是射線OF與直線BC的交點時，K運動到最右端；所以可連接OE、OF，并延長其交直線BC于N、Q，可通過證△OAE≌△NBE，來求得BN的長，同理可求出CQ的長，那么K點運動的距離NQ的長即可求出．
（2）①當K、B重合時，若MG與⊙O相切于P點，那么MG⊥BO于P，則可證得△OAB∽△MBG，那么BM：BG=OA：OB，OA、OB的長易求得，由此可得出BM：BG的值．
②此題的解題思路同①，可過K作AD的垂線，設垂足為H，當M在線段AB上時，可通過證△MBG∽△OHK，得到BM：BG=OH：HK，HK的長即為正方形的邊長2，若BM：BG=3，那么OH=，所以存在符合條件的K點，此時BK=OA-OH=；同理可求得在線段BC、CD以及CB的延長線上都存在符合條件的K、M、G點，解法同上．
點評：此題考查了正方形的性質、切線的性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質等知識，能夠通過相似三角形將所求比例線段和已知線段發生聯系，是解答此題的關鍵．