Question

已知，拋物線y=-x²+bx+c，當1＜x＜5時，y值為正；當x＜1或x＞5時，y值為負．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若直線y=kx+b（k≠0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式．
（3）設平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數于H、G．
①求t的取值范圍
②是否存在適當的t值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（1，0）和（5，0）代入函數關系式，求出b，c的值即可；
（2）圖象過A（，m）和B（4，n）兩點代入（1）中所求求出A，B的坐標即可，進而求出直線的解析式；
（3）①根據t＞，t+2＜4進而求出t的取值范圍即可；
②首先表示出E，F，G，H各點的坐標，進而根據平行四邊形的性質求出t的值即可．
解答：解：（1）根據題意，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交點為（1，0）和（5，0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-5；

（2）∵y=-x²+6x-5的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點，
∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3），
∵直線y=kx+b（k≠0）過A（，）和B（4，3）兩點
∴，
解得．
∴直線的解析式為y=x+1；

（3）①根據題意，
解得≤t≤2，
②根據題意E（t，t+1），F（t+2，t+2）
H（t，-t²+6t-5），G（t+2，-t²+2t+3），
∴EH=-t²+t-6，FG═-t²+t+1，
若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即-t²+t-6=-t²+t+1，
解得：t=，
∵t=滿足≤t≤2．
∴存在適當的t值，且t=使得EFGH是平行四邊形．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數和二次函數解析式以及平行四邊形的性質，根據點的坐標性質得出E，F，G，H點的坐標進而利用平行四邊形對邊相等得出是解題關鍵．