Question

如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的周長為l．把AB分成n條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，計算每個小圓的周長l_n：

設AB=a，那么⊙O的周長l=πa．
當n=2時，AB等分成兩段，每個小圓的直徑為

1

2

a，周長l2=

1

2

a•π=

1

2

l；
當n=3時，l₃=

 

；當n=4時，l₄=

 

；…
由此猜想，當把AB分成n條相等的線段時，每個小圓的周長l_n=

 

；
類似地，如果設⊙O的面積為S，那么當把AB分成n條相等的線段時，每個小圓的面積是

 

（用n、S來表示）．

Answer 1

分析：利用已知條件直接求出當n=3時，l₃=

a

3

π=

1

3

πa=

1

3

l，進而得出l₄與l_n，根據當把AB分成n條相等的線段時圓的半徑可得出圓的面積．

解答：解：根據已知條件：
∵AB=a，那么⊙O的周長l=πa，當n=2時，AB等分成兩段，每個小圓的直徑為

1

2

a，周長l2=

1

2

a•π=

1

2

l；
∴當n=3時，l₃=

a

3

π=

1

3

πa=

1

3

l，
同理可得：l₄=

1

4

l，l_n=

1

n

l，
當⊙O的面積為S=

a 2

4

π，
那么當把AB分成n條相等的線段時，每個小圓的面積是：S_n=π(

a

2n

) 2=（

1

n

）²S．
故答案為：

1

3

l，l₄=

1

4

l，l_n=

1

n

l，（

1

n

）²S．

點評：此題主要考查了圓的周長求法與圓的面積求法，發現并得出AB分成n條相等的線段時周長的變化規律是解決問題的關鍵．