Question

如圖：平面直角坐標系中，已知A（-，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圓圓心為M，⊙M交y軸的負半軸于D．
①判斷△ABC的形狀，并說明理由．
②點A是弧CD的中點嗎？說明理由．
③過y軸上一點N（0，m）作y軸的垂線l，當直線l與⊙M有公共點時，求m的取值范圍．
④在y軸上是否存在點P，使得四邊形APBC是梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①三角形ABC為直角三角形，理由為：連接AC，BC，由A，B及C的坐標，得出OA，OB，及OC的值，在直角三角形AOC中，由OA及OC的長，利用勾股定理求出AC的長，在直角三角形BOC中，由OC及OB的長，利用勾股定理求出BC的長，同時由OA+OB求出AB的長，利用勾股定理的逆定理即可判斷出三角形ABC為直角三角形；
②點A為弧CD的中點，理由為：由x軸與y軸垂直，得到直徑BA與弦CD垂直，利用垂徑定理可得出A為弧CD的中點；
③過y軸上一點N（0，m）作y軸的垂線l，當直線l在x軸上方與圓M相切時，根據(jù)圓心到切線的距離d=r，由直徑AB的長求出半徑r的長，可得出d的值，即為相切時N的縱坐標m的值；當直線l在x軸下方與圓M相切時，同理可得出相切時N的縱坐標m的值，當直線l在兩切線之間時，直線與圓相交，符合題意，故得出直線l與圓M有公共點時m的范圍；
④在y軸上存在點P，使得四邊形APBC是梯形，此時滿足題意的P有兩個，一個是過B作BP₁與AC平行，與y軸交于P₁，根據(jù)兩直線平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形AOC與三角形BOP₁相似，由相似得比例，將OA，OB及OC的長代入求出OP₁的長，確定出P₁的坐標；另一個為過A作AP₂平行于BC，與y軸交于P₂，同理得出P₂的坐標，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．
解答：解：①△ABC為直角三角形，理由如下：
連接AC，BC，

∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA=，OB=2，OC=1，
∴AB=OA+OB=，即AB²=，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC²=AO²+OC²=+1=，
在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：BC²=BO²+OC²=4+1=5，
∴AC²+BC²=+5==AB²，
∴△ABC為直角三角形；

②A是弧CD的中點，理由為：
∵直徑BA⊥弦CD，
∴A為的中點；

③如上圖所示：
當過N的直線l在x軸上邊與圓M相切時，圓心M到直線l的距離d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=；
當過N的直線l在x軸下邊與圓M相切時，圓心M到直線l的距離d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=-，
則當直線l與⊙M有公共點時，m的取值范圍為-≤m≤；

④在y軸上存在點P，使得四邊形APBC是梯形，
過點B作BP₁∥AC，交y軸于點P₁，
∴∠ACP₁=∠BP₁C，∠CAO=∠OBP₁，
∴△AOC∽△BOP₁，
∴=，即OP₁==4，
∴P₁坐標為（0，-4）；
過點A作AP₂∥BC，交y軸于點P₂，
∴∠AP₂O=∠BCO，∠OAP₂=∠OBC，
∴△BOC∽△AOP₂，
∴=，即OP₂==，
∴P₂坐標為（0，-）．
則在y軸上存在點P（0，-4）或（0，-），使得四邊形APBC是梯形．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：勾股定理及逆定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，第三小問抓住直線l與圓M相切時的特殊情況是求出m范圍的關(guān)鍵．第四小問運用了分類討論的思想，求出的P有兩解，注意不要漏解．