Question

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3，△DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N．
（1）求證：△BDM∽△CEN；
（2）當點M、N分別在邊BA、CA上時，設BD=x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出定義域；
（3）是否存在點D，使以M為圓心，BM為半徑的圓與直線EF相切，如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）兩三角形中，AB=AC可得出∠B=∠C，三角形DEF是等邊三角形可得出∠FDB=∠FEC=120°由此可證得兩三角形相似．
（2）重合部分的面積應該是三角形ABC的面積-三角形BDM和CEN的面積和．那么要先求出三角形BDM和CEN的面積，由于∠B=∠C=30°，∠FDE=60°，∠BMD=∠C=30°，三角形BDM和BAC相似，那么可根據面積比等于相似比的平方用三角形ABC的面積求出三角形BDM的面積．同理可求出三角形CEN的面積，進而可得出重合部分的面積．
（3）如果存在EF于圓M相切的情況，那么如果過M作EF的垂線MG，那么MG=BM，可在三角形BDM中用BD來表示出BM，因為BD=DM，所以可以用BD表示出FM，進而在直角三角形FMG中表示出MG，然后讓這兩個含x的式子相等即可求出x的值．

解答：證明：（1）∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠FED．
∴∠MDB=∠NEC．
∴△BDM∽△CEN．

（2）過A作AH⊥BC垂足為H，∵∠B=30°，BC=6，
∴BH=3，AH=

3

，AB=2

3

．
∴S_△ABC=

1

2

×6×

3

=3

3

．
∵∠B=∠B，∠BMD=∠C，
∴△BDM∽△BAC．
∴

S△BDM

S△ABC

=(

BD

AB

)2，

S△BDM

3 3

=(

x

2 3

)2．
∴S_△BDM=

3

4

x²同理求得S_△NEC=

3

4

（3-x）²
∴y=3

3

-

3

4

x²-

3

4

（3-x）²=-

3

2

x²+

3 3

2

x+

3 3

4

（1≤x≤2）．

（3）假設存在點D，使以M為圓心，BM為半徑的圓與直線EF相切．
過點M作MG⊥EF垂足為G，則MG=BM，
在△BDM中，過點D作DP⊥BM垂足為P，
∵BD=x，∠B=30°，
∴BP=

3

2

x，BM=

3

x．
∵BD=DM，FD=DE=3，
∴FM=3-x．
∵在RT△FMG中，∠F=60°，
∴MG=

3 (3-x)

2

．
∴

3

x=

3 (3-x)

2

．
解得x=1．
所以當BD的長為1時，以M為圓心，BM為半徑的圓與直線EF相切．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，切線的判定以及相似三角形的性質等知識點，運用好各特殊度數的角是解題的關鍵．