Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，點E在邊CB的延長線上，BE=AD．
（1）求證：△ABE≌△ADC；
（2）點F在邊BC上，∠AFB=2∠E，求證：四邊形AFCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可判定四邊形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性質以及給出的條件利用SAS可判定△ABE≌△ADC；
（2）由（1）和外角和定理可證得AD=DC=AF=CF，所以四邊形AFCD是菱形．
解答：證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠D+∠ECD=180°，
∵BA=AD=DC，
∴∠ABC=∠DCE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵BE=AD，
∴△ABE≌△ADC；

（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，
∴2∠E=∠CAF+∠FCA，
∵∠E=∠DAC=∠DCA，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠FCA，
∴AD=DC=AF=CF，
∴四邊形AFCD是菱形．
點評：此題主要考查等腰梯形的性質及全等三角形的判定方法的綜合運用．