Question

如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，過D、E兩點作直線L₁與BC所在的直線L₂交于點F．點O是直線L₁與直線L₂間的一動點，以O為圓心作⊙O，使⊙O與L₁相切，又同時與矩形兩邊所在的直線相切，此時圓的半徑是

1或3

．

Answer 1

分析：因為圓的位置不確定，所以需要分類討論：①⊙O是△EFB的內切圓；②⊙O是△FCD的內切圓，再根據直角三角形的內切圓的半徑為r=

a+b+c

2

計算即可．

解答：解：∵矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，
∴BE=3，ED=10．
①如圖1所示：
∵BE∥CD，
∴△FBE∽FCD，
∴

BE

CD

=

FB

FC

，
∴FB=4，
由勾股定理得：EF=5，
∴此時圓的半徑是

a+b+c

2

=

4+3-5

2

=1；

②如圖2所示：
FD=DE+EF=15，FC=FB+BC=4+8=12，CD=9，
∴此時圓的半徑是

a+b+c

2

=

12+9-15

2

=3，
故答案為：1或3．

點評：本題考查了矩形的性質、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質以及直角三角形內切圓的半徑和三邊的數量關系，題目的綜合性不小，并且注意分類討論思想的運用．