Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=3，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點，如圖(2)

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有            及           ；
（2）設CG=x，BH=y，求y關于x的函數關系式（只要求根據圖(2)的情形說明理由）；
（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形。

Answer 1

解：（1）始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；．………（2分）
（2）證得△AGC∽△HAB，．              ………………………（4分）
∴AC：HB=GC：AB，即3：y=x：3，
∴y=                              ………………………（5分）
答：y關于x的函數關系式為y=
（3）∵∠GAH=45°，分三種情況討論：
第一種當∠GAH=45°是等腰三角形的底角時，如圖（1）：可得CG=x=．……（7分）
第二種當∠GAH=45°是等腰三角形的頂角時，如圖（2）：可得CG=3 ……………（9分）
第三種當CG=BC時，注意：DF才旋轉到與BC垂直的位置，此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，所以△AGH為等腰三角形，所以CG=
答：當x為=、或3時，△AGH是等腰三角形．．………（10分）
解析:
（1）根據△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結論．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應邊成比例列出關于x、y的關系式：3：y=x：3即可．
（3）此題要采用分類討論的思想，當CG＜1/2BC時，當CG=1/2BC時，當CG＞1/2BC時分別得出即可