Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，BD，CE分別是兩腰上的中線．

（1）求證：BD=CE；

（2）設BD與CE相交于點O，點M，N分別為線段BO和CO的中點，當△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時，判斷四邊形DEMN的形狀，無需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DEMN是正方形，證明見解析.

【解析】分析：（1）根據已知條件得到AD=AE，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據三角形中位線的性質得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代換得到ED∥MN，ED=MN，推出四邊形EDNM是平行四邊形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四邊形EDNM是矩形，根據全等三角形的性質得到OB=OC，由三角形的重心的性質得到O到BC的距離=BC，根據直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到結論．

詳解：

（1）解：由題意得，AB=AC，

∵BD，CE分別是兩腰上的中線，

∴AD=AC，AE=AB，

∴AD=AE，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE；

（2）四邊形DEMN是正方形，

證明：∵E、D分別是AB、AC的中點，

∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位線，

∴ED∥BC，ED=BC，

∵點M、N分別為線段BO和CO中點，

∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位線，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四邊形EDNM是平行四邊形，

由（1）知BD=CE，

又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，

∴DM=EN，

∴四邊形EDNM是矩形，

在△BDC與△CEB中，，

∴△BDC≌△CEB，

∴∠BCE=∠CBD，

∴OB=OC，

∵△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等，

∴O到BC的距離=BC，

∴BD⊥CE，

∴四邊形DEMN是正方形．