Question

如圖，AB、AC切⊙O于B、C，BC交OA于D，AB=10，AD=8，
（1）線段AO與BC有何關系？并說明理由；
（2）求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得到OB⊥AB，OC⊥AC，易證Rt△OBA≌Rt△OCA，得到AB=AC，∠BAO=∠CAO，根據等腰三角形的三線合一得到AD垂直平分BC，即有OA垂直平分BC；
（2）根據垂直平分線的性質得到BD⊥AD，BD=CD，在Rt△ABD中利用勾股定理計算出BD，即可得到BC的長．
解答：解：（1）OA垂直平分BC．理由如下：
∵AB、AC切⊙O于B、C，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
而OB=OC，
∴Rt△OBA≌Rt△OCA，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AD垂直平分BC，
即OA垂直平分BC；

（2）∵OA垂直平分BC．
∴BD⊥AD，BD=CD，
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，
∴BD===6，
∴BC=2BD=12．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理．