Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BD=1，∠CBD的正切值為2．
（1）求AD的長；
（2）如果點E在以B為圓心BA為半徑的弧上，CE∥AB，求sin∠EBA的值．

Answer 1

分析：（1）由已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，所以∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，則∠ACD=∠CBD，由兩個直角三角形△BCD和△ACD求出AD．
（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，由已知可得EH=CD，CD在（1）中已求出，又由已知和（1）求出的AD可求出BE，從而求出sin∠EBA的值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∴tan∠ACD=tan∠CBD=2．（2分）
在Rt△BCD中，CD=BD•tan∠CBD=1×2=2．（2分）
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=2×2=4．（2分）

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，（1分）
∵CE∥AB，CD⊥AB，∴EH=CD=2，（1分）
∵點E在以B為圓心BA為半徑的弧上，∴BE=AB=AD+BD=5，（1分）
∴sin∠EBA=

EH

BE

=

2

5

．（1分）

點評：此題考查的知識點是解直角三角形，關鍵是運用直角三角形和三角函數求解．