Question

【題目】已知：二次函數y=﹣x2+x+c與x軸交于點M（x1，0）N（x2，0）兩點，與y軸交于點H．

（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°時，求函數解析式；

（2）若|x1|2+|x2|2=1，當點Q（b，c）在直線上時，求二次函數y=﹣x2+x+c的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+（1﹣）x+；（2）y=﹣x2+x+.

【解析】

（1）由已知可得兩個特殊的直角三角形，其公共直角邊OH=c，解直角三角形得OM，ON的長度，用長度表示點M、N的橫坐標，用兩根關系求待定系數，即可確定二次函數關系式；

（2）由（1）可知x1=﹣c，x2=c，代入已知條件，用待定系數法解答即可．

（1）依題意得：OH=c，∠OHN=60°，解直角三角形得：OM=OH=c，ON=c，即M（﹣c，0），N（c，0），∴﹣c+c=，﹣cc=﹣c，解得：b=3﹣，c=，故函數解析式y=﹣x2+（1﹣）x+；

（2）由|x1|2+|x2|2=1得：（x1+x2）2﹣2x1x2=1，∴+2c=1…①．

又∵點Q（b，c）在直線上，∴c=+…②，由①②得：或（不合題意舍去），∴二次函數y=﹣x2+x+c的解析式y=﹣x2+x+．