Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．
（1）證明：EF=CF；
（2）當tan∠ADE=時，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質證明△EDF≌△CDF，
（2）由tan∠ADE=根據已知條件可以求出AE=GC=2．設EF=x，則BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根據勾股定理即可求出x，也就求出了EF．
解答：（1）證明：過D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中
，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；

（2）解：∵tan∠ADE==，
∴AE=GC=2．
∴BC=8，
BE=4，設CF=x，則BF=8-CF=8-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
即EF=5．
點評：本題考查梯形、正方形、直角三角形的相關知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質來求解．