Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖（1），當AB∥CB′時，設A′B′與CB相交于點D．證明：△A′CD是等邊三角形；
（2）如圖（2），連接A′A、B′B，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA′和S_△BCB′，求證：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ACB=90°，∠ABC=30°得∠CAB=90°-30°=60°，根據旋轉的性質可得∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，而AB∥CB′，根據平行線的性質得∠1=∠3=30°，再利用三角形外角性質得到∠2=∠1+∠ABC=60°，則在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，即可得到結論；
（2）由∠ACB=90°，∠ABC=30°，tan∠ABC=tan30°==，則BC=AC，根據旋轉的性質可得CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，然后根據相似三角形的判定得到△ACA′∽△BCB′，利用相似的性質得到S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=AC²：（AC）²，即可得到結論．
解答：證明：（1）如圖1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，
又∵AB∥CB′，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠2=∠1+∠ABC=60°，
在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，
∴△A′CD是等邊三角形；
（2）如圖2，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=tan30°==，
∴BC=AC，
∵△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=AC²：（AC）²=1：3．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定方法以及相似三角形的判定與性質．