Question

已知如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，作射線BF，使得BA平分∠CBF，過點A作AD⊥ BF于點D。
（1）求證：DA為⊙O的切線；
（2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）連接AO， ∵AO=BO ∴∠2=∠3， ∵BA平分∠CBF， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠1， ∴DB//AO， ∵AD⊥DB， ∴∠BDA=90° ∴∠DAO =90°， ∵AO是⊙O半徑， ∴DA為⊙O的切線．；
（2）∵AD⊥DB，BD=1，tan∠BAD=1/2， ∴AD=2， 由勾股定理，得 ∴sin ∠4= ∵BC是⊙O直徑， ∴∠BAC=90°， ∴∠C+∠2=90°， 又∵∠4+∠1=90°，∠2=∠1， ∴∠4=∠C， 在Rt △ABC中， BC===5， ∴⊙O的半徑為5/2。