Question

已知一次函數y₁ = 2x和二次函數y₂ = x² + 1。

1.求證：函數y₁、y₂的圖像都經過同一個定點；

2.求證：在實數范圍內，對于任意同一個x的值，這兩個函數所對應的函數值y₁ ≤ y₂ 總成立；

3.是否存在拋物線y₃ = ax² + bx + c，其圖象經過點(5，2)，且在實數范圍內，對于同一個x的值，這三個函數所對應的函數值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂總成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.如果經過同一點，那么y₁=y₂，即2x= x² + 1

            x=1

          把x=1代入到一次函數中得  y=2

       ∴函數y₁、y₂的圖像都經過同一個定點（1，2）（3分）

2.∵y₂- y₁= x² + 1-2x= （x-1）²≥0

∴在實數范圍內，對于任意同一個x的值，這兩個函數所對應的函數值y₁ ≤ y₂ 總成立；（3分）

3.存在

∵三個函數所對應的函數值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂總成立

∴拋物線y₃ = ax² + bx + c也必經（1，2）

把（1，2）和（-5，2）代入拋物線y₃ = ax² + bx + c中解得：

（4分）

【解析】（1）利用y₁=y₂，求出定點的坐標從而得證；

（2）求出y₂- y₁關于x的方程進行變形討論出結論；

（3）要符合y₁ ≤ y₃ ≤ y₂條件，就必然得出拋物線y₃ = ax² + bx + c也必經（1，2），然后把（1，2）和（-5，2）代入就得出解析式。