Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，①圖中與∠BCE相等的角有4個，②圖中等腰三角形有5個，③四邊形OADE是軸對稱圖形，④AC•CE=DC•BC，⑤DE²=DC•DB．則上述結論中正確的個數為（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5 個

Answer 1

【答案】分析：由AD=DE得弧AD=弧DE，根據圓周角定理得∠DBA=∠DAE，而∠BCE=∠DCA=∠CBA+∠CAB，則∠DAO=∠BCE，易證△OAD≌△ODE，則∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO，可判斷①不正確；易得△DAE，△OAE，△OAD，△ODE，△OBE都是等腰三角形，可判斷②正確；由于四邊形OADE由兩個全等的△OA、△ODE組成，且有公共邊OD，可判斷③正確；根據相似三角形的判定易證△CDA∽△CEB，△DCE∽△DEB，利用相似的性質可得到CD：CE=CA：CB，DE：DB=DC：DE，即可對④⑤進行判斷．
解答：解：∵AD=DE，
∴弧AD=弧DE，
∴∠DBA=∠DAE，
∵∠BCE=∠DCA=∠CBA+∠CAB，
∴∠DAO=∠BCE，
∵AD=DE，OA=OD=OE，
∴△OAD≌△ODE，
∴∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO，
即∠BCE=∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO=∠DCA，所以①不正確；
△DAE，△OAE，△OAD，△ODE，△OBE都是等腰三角形，所以②正確；
∵四邊形OADE由兩個全等的△OA、△ODE組成，且有公共邊，
∴四邊形OADE是軸對稱圖形，對稱軸為直線OD，所以③正確；
∵∠DCA=∠ECB，∠DAE=∠EBC，
∴△CDA∽△CEB，
∴CD：CE=CA：CB，
即AC•CE=DC•BC，所以④正確；
∵∠DEA=∠EBD，∠EDC=∠BDE，
∴△DCE∽△DEB，
∴DE：DB=DC：DE，
即DE²=DC•DB，所以⑤正確．
故選C．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數是它所對的圓心角度數的一半．也考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、以及圓心角、弦、弧之間的關系．