Question

（1998•北京）已知二次函數y=x²-（2m+4）x+m²-4（x為自變量） 的圖象與y軸的交點在原點的下方，與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，且A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足3（OB-AO）=2AO•OB，直線y=kx+k與這個二次函數圖象的一個交點為P，且銳角∠POB的正切值為4．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）確定直線y=kx+k的解析式．

Answer 1

分析：（1）令二次函數中y=0得到關于x的方程，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，根據3（OB-AO）=2AO•OB列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出二次函數解析式；
（2）由直線y=kx+k與這個二次函數圖象的一個交點為P，且銳角∠POB的正切值為4，設P（a，4a）與（a，-4a），代入二次函數解析式中求出a的值，確定出P的坐標，代入直線解析式求出k的值，即可確定出直線解析式．

解答：解：（1）令x²-（2m+4）x+m²-4=0，設兩根為x₁，x₂（x₁＜0＜x₂），
由題意得：x₁=-OA，x₂=OB，m²-4＜0，即-2＜m＜2，
∴OB-OA=2m+4，OA•OB=-（m²-4），
代入3（OB-OA）=2AO•OB，得：3（2m+4）=-2（m²-4），
整理得：（m+1）（m+2）=0，
可得m+1=0或m+2=0，
解得：m=-1或m=-2（舍去），
則拋物線解析式為y=x²-2x-3；

（2）根據題意設P坐標為（a，4a）或（a，-4a），
代入拋物線解析式得：a²-2a-3=4a或a²-2a-3=-4a，
解得：a=3±2

3

或a=1或-3，
∵∠POB是銳角，則a＞0，
∴a=3-2

3

和a=-3應舍去．
則滿足題意的P坐標為（3+2

3

，12+8

3

），（1，4），
分別代入y=kx+k中得：k=2

3

，k=2，
則直線解析式為y=2

3

x+2

3

或y=2x+2．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：根與系數的關系，二次函數與一元二次方程的關系，銳角三角函數定義，是一道較難的壓軸題．弄清題意是解本題的關鍵．