Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓的直徑DE=12cm．半圓以2cm/秒的速度從左向右運動，在運動過程中，直徑DE始終在直線BC上．設運動時間為t（單位：秒），當t=0秒時，半圓在△ABC的左側，OC=8cm．當半圓運動了________秒時，△ABC的邊AB所在直線與半圓相切，此時，半圓面與△ABC重疊部分的面積為________cm²．

Answer 1

4    9π
分析：如圖，設半圓與AB相切于點F，連接CF，則CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，所以，CF=BC=6cm，此時，圓心O與點C重合，半圓走了8cm，所以，t==4（秒），又∠ACB=90°，所以，半圓面與△ABC重疊部分的面積：S_重合=πr²=×36π=9π；
解答：如圖，設半圓與AB相切于點F，連接CF，

∴CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，
∴CF=BC=6cm，
此時，圓心O與點C重合，半圓走了8cm，
∴t==4（秒），
又∵∠ACB=90°，
∴半圓面與△ABC重疊部分的面積：
S_重合=πr²=×36π=9π；
故答案為：4；9π．
點評：本題主要考查了切線的性質和扇形面積的計算，切線的性質：①圓的切線垂直于經過切點的半徑；②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．