Question

如圖1，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D，AD與BC相交于E點，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一拋物線經過A，E，C三點．
（1）求點E的坐標及此拋物線的表達式；
（2）如圖2，如果AB位置不變，將DC向右平移k（k＞0）個單位，求△AEC的面積S關于k的函數表達式；
（3）在第（2）問中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線AD的解析式為y=kx+b，直線BC的解析式為y=-x-2，把已知坐標代入求得解析式．得出點E的坐標．設經過A，E，C三點的此拋物線表達式為y=ax²+bx+c求出解析式．
（2）證明△ABE∽△DCE，作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，求出EF，EG的值然后可求出S的值．
（3）由2得ABE∽△DCE利用線段比得出AF，BF的值．當AD⊥BC，EF⊥AB時得出△BEF∽△AFE，然后根據線段比求出EF的值．

解答：解：（1）由題意知B（-2，0）、D（1，0），
設直線AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，-6）、D（1，0）的坐標代入，
解得k=2，b=-2，
∴直線BC的解析式為y=-x-2；
同理求得直線AD的解析式為y=2x-2，
解方程組

y=2x-2 y=-x-2

．
得點E的坐標為（0，-2），
（用其它方法求得點E的坐標可參考得分）
設經過A，E，C三點的此拋物線表達式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=-6 c=-2 a+b+c=-3

，
∴

a=-1 b=0 c=-2

，
∴y=-x²-2．

（2）由題意得D（k+1，0），C（k+1，-3），BD=k+3，
∵AB、CD都垂直于x軸，
∴△ABE∽△DCE，
且SABDC=

9

2

(k+3)，
作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，則
EF=

2

3

(k+3)，
EG=

1

3

(k+3)，
∴S_ABE+S_CDE=

5

2

（k+3）
∴S=

1

2

(SABDC-SABE-SCDE)=k+3．

（3）由（2）知EF=

2

3

(k+3)，
∵△ABE∽△DCE，
∴

AE

ED

=

AB

DC

=

2

1

，
∵EF∥x軸，
∴

AF

FB

=

2

1

，
∴AF=4，BF=2，
當AD⊥BC時，由EF⊥AB得△BEF∽△AFE，
∴EF²=BF•AF=8，
∴EF=2

2

（負根舍去）
∴

2

3

(k+3)=2

2

，k=3

2

-3．

點評：本題考查的是二次函數的有關知識以及相似三角形的判定定理，難度較大．