Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）連接AE，AE的延長線與BC的延長線交于點G（如圖2所示），若AB=2，AD=2，求線段BC和EG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，OC，即可證明△OEC≌△OEC，根據DE與⊙O相切于點E得到OEC=90°，從而證得∠OBC=90°，則BC是圓的切線．
（2）先求線段BC的長，過D作DF⊥BG于F，則四邊形ABFD是矩形，有DF=AB=2，在Rt△DCF中，由切線長定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的長；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根據平行線的內錯角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可證得CE=CG=CB，即可求得BG的長；
在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易證△ADE∽△GCE，根據相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例關系，聯立AG的長，即可得到EG的值．
解答：（1）證明：連接OE，OC；（1分）
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC （2分）
又∵DE與⊙O相切于點E
∴∠OEC=90° （3分）
∴∠OBC=90°
∴BC為⊙O的切線．（4分）

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，
∵AD，DC，BG分別切⊙O于點A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
設BC為x，則CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，，
解得：；（6分）
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=，（7分）
∴BG=5，
∴AG=；（8分）
解法一：連接BE，，
∴，
∴，（9分）
在Rt△BEG中，
，（10分）
解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，（9分）
∴，
=，
解得：．（10分）
點評：此題主要考查了切線的判定和性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質、勾股定理、切線長定理等知識的綜合應用，是一道難度較大的綜合題．