Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，將∠DCB繞點C按順時針方向旋轉，角的兩邊CD和CB與x軸分別交于點P、Q，設旋轉角為α（0°＜α≤90°）．
①當α等于多少度時，△CPQ是等腰三角形？
②設BP=t，AQ=s，求s與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線過A，B兩點，可將A，B的坐標代入拋物線的解析式中用待定系數法即可求出拋物線的解析式．然后可根據拋物線的解析式得出頂點C的坐標．
（2）①本題要分三種情況進行討論：
當CQ=CP時，∠PCD=∠QCD=22.5°，因此旋轉角α=22.5°；
當CQ=QP時，∠CPQ=∠PCQ=45°，因此P，A重合．旋轉角為45°；
當CP=QP時，∠CQP=∠PCQ=45°，因此旋轉角α=0°，根據α的取值范圍可知此種情況是不成立的．由此可得出旋轉角為22.5°或45°時，△CPQ是等腰三角形．
②本題可根據相似三角形來求．分兩種情況進行討論：
當0°＜α≤45°時，由于∠A=∠B=45°，∠ACQ和∠BPC都是45°加上一個相同的角，因此△ACQ∽△BPC，即可通過相似三角形得出關于BP，AQ，AC，BC的比例關系式，由于AC，BC的值可通過A，B，C三點的坐標來求出，由此可得出s，t的函數關系式．
當45°＜α＜90°時，與一的求法完全相同．
解答：解：（1）根據題意，得，
解得，
∴y=-x²+3x-=-（x-3）²+2，
∴頂點C的坐標為（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，
∴∠DCB=∠CBD=45度．
若CQ=CP，則∠PCD=∠PCQ=22.5度．
∴當α=22.5°時，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ=PQ，則∠CPQ=∠PCQ=45°，
此時點Q與D重合，點P與A重合．
∴當α=45°時，
△CPQ是等腰三角形．
若PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=45°，此時點Q與B重合，點P與D重合．
∴α=0°，不合題意．
∴當α=22.5°或45°時，△CPQ是等腰三角形．

②連接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CAD=45°，AC=BC=
當0°＜α≤45°時，
∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度．
∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度．
∴∠ACQ=∠BPC．
又∵∠CAQ=∠PBC=45°，
∴△ACQ∽△BPC．
∴．
∴AQ•BP=AC•BC=×=8
當45°＜α＜90°時，同理可得AQ•BP=AC•BC=8，
∴．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．