Question

小明是個愛學習的孩子，他在一本數學課外讀物上看到一道思考題：請將如圖放置的邊長為a的正方形ABCD和斜邊為AE=2b（2b＜a）的等腰直角三角形FAE剪兩刀，重新拼成一個面積為a²+b²的正方形．他找來硬紙片和剪刀進行探索．先在BA上選取點G，使BG=b，連接CG，剪下△BCG并繞點C順時針旋轉90°到△CDH的位置，接下來的問題是：
（1）EH的長是多少？（用含a，b的式子表示）；
（2）能否將△AGF剪下，繞點F旋轉到△EHF的位置？（求證：△AGF≌△EHF）；
（3）四邊形GCHF是正方形嗎？面積是否為a²+b²？請你與小明一起解答以上問題，并說明小明的探索是否成功？

Answer 1

解：（1）∵AD=AB=a，DH=BG=b，AE=2b，
∴EH=AD+DH-AE=a+b-2b=a-b．

（2）∵AG=AB-BG=a-b，EH=a-b，
∴AG=EH．
∵∠FAG=45°+90°=135°，
∠FEH=180°-45°=135°，
∴∠FAG=∠FEH．
∵△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=FE．
在△AGF和△EHF中，
∴△AGF≌△EHF，即能將△AGF繞F旋轉到△EHF的位置．

（3）作FI⊥AD，垂足為I；
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜邊上的中線∴FI=IE=AE=•2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b，IH=DC=a，又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC（SAS）
∴FH=HC①
∵△AGF≌△EHF，△BCG繞點C順時針旋轉90°到△CDH的位置
∴FG=FH②，GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四邊形FHCG是菱形
又由△AGF≌△EHF得：∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=90°
∴四邊形FHCG是正方形．
在Rt△BCG中，根據勾股定理：GC²=BC²+BG²=a²+b²
∴正方形GCHF的面積=GC²=a²+b²
∴小明的探索能成功．

分析：（1）由圖知：EH=AD+DH-AE．
（2）通過證明△AGF≌△EHF，說明△AGF繞F旋能轉到△EHF的位置．
（3）作FI⊥AD，根據△AGF≌△EHF，△AGF≌△EHF證明四邊形FHCG是正方形．再通過勾股定理得到正方形GCHF的面積．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、正方形的判定、勾股定理等知識．