Question

已知：如圖，正比例函數y=ax的圖象與反比例函數y=的圖象交于點A（3，2）
（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；
（2）根據圖象信息回答問題：在第一象限內，當x取何值時，反比例函數的值大于該正比例函數的值？
（3）M（m，n）是反比例函數圖象上的一動點，其中0＜m＜3過點M作直線MN∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當四邊形OADM的面積為6時，求過點M、A的一次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點A為正比例與反比例函數圖象的交點，將A點坐標代入正比例函數y=ax中，求出a的值，確定出正比例函數的解析式，將A點坐標代入反比例函數y=中，求出k的值，確定出反比例函數的解析式；
（2）由A的橫坐標及函數圖象可得出反比例函數的值大于該正比例函數的值時，x的范圍范圍；
（3）過M作MQ垂直于x軸，由M為反比例函數上的點，將M的坐標代入反比例函數解析式中求出mn=6，同時由三個角的為直角的四邊形為矩形得到四邊形BOCD為矩形，根據矩形的對邊相等可得出BO=DC，又BMNO為矩形，得到MN=BO，由M的縱坐標為n，得到MQ=BO=DC=n，橫坐標為m，得到BM=m，由A的坐標得出AC及OC的長，四邊形OADM的面積=矩形BOCD的面積-三角形BMO的面積-三角形AOC的面積，利用矩形及三角形的面積公式分別表示出各自的面積，將mn=6及四邊形OADM的面積為6代入，得出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，進而求出m的值，即可確定出M的坐標，設過M，A的一次函數解析式為y=kx+b，將A和M的坐標代入，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數解析式．
解答：解：（1）把A（3，2）分別代入y=ax，y=中，
得 2=3a，2=，
∴a=，k=6，
∴正比例函數的解析式為y=x，反比例函數的解析式為y=；

（2）由圖象及A（3，2）知：在第一象限內，當0＜x＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值；

（3）過M作MQ⊥x軸于點Q，如圖所示：
∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函數圖象上的一動點，且四邊形OCDB為矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MQ=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四邊形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-mn-×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=，
∴M坐標為（，4），又A（3，2），
設一次函數解析式為y=kx+b（k≠0），
把M和A代入y=kx+b，得 ，
∴，
∴一次函數解析式為y=-x+6．
點評：此題屬于反比例函數的綜合題，涉及的知識有：反比例函數與一次函數的交點，矩形的判定與性質，利用待定系數法求一次函數解析式，以及點與坐標的關系，利用了數形結合及方程的思想，是中考中常考的題型．