Question

如圖，在直角坐標系中，點A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），動點P從點A出發以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，過點P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設運動的時間為t秒．

（1）當t=1時，求線段DP的長；
（2）連接CD，設△CDQ的面積為S，求S關于t的函數解析式，并求出S的最大值；
（3）運動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）S=，當時，S最大值=4；（3）和

試題分析：（1）先由題意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出當t=1時，AP、OP的長，最后根據PD⊥y軸，AB⊥y軸，結合平行線分線段成比例即可列比例式求解；
（2）作DE⊥CO于點E，分別用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的長，再根據三角形的面積公式即可得到S關于t的函數解析式，根據二次函數的性質即可求得S的最大值；
（3）分和兩種情況，結合相似三角形的判定方法討論即可.
（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
當t=1時，AP=1，則OP=3，
∵PD⊥y軸，AB⊥y軸
∴PD∥AB
∴ 
∴ 
解得DP=；
（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于點E，則DE=OP=4–t   
∴S==×2t×(4–t)=   
當時，S最大值=4
（3）分兩種情況討論：
①當時，點Q在CO上運動（當t=3時，△ODQ不存在）
∵AB∥CO 
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可證得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴當時，△ODQ與△ABC不可能相似。
②當時，點Q在x軸正半軸上運動，
延長AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=，由DP∥AB可得OD=
當時，
 ，在內；
當時，
，在內；
∴存在和，使△ODQ與△ABC相似。
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握求二次函數的最值的方法：公式法或配方法；同時熟練運用平行線分線段成比例，準確列出比例式解決問題.