Question

（1）如圖，已知△ABC周長為1，連接△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構成第三個三角形，依此類推，由第一個三角形ABC的周長C₁=1，
則第二個三角形的周長C₂=

 

第三個三角形的周長C₃=

 

…
第2006個三角形的周長C₂₀₀₆=

 

…
第n個三角形的周長C_n=

 

（2）在圖1中，互不重疊的三角形共有4個，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個，在圖3中，互不重疊的三角形共有10個，…，則在第k個圖形中，互不重疊的三角形共有

 

個（用含k的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，那么所求的三角形的周長就等于原三角形周長的一半．據此找規律求解；
（2）根據圖形結合題目所給數據尋找規律，發現圖2比圖1多3個互不重疊的三角形，即4+3個；圖3比圖2多3個互不重疊的三角形，即4+3×2個；依此類推，圖k中互不重疊的三角形的個數是4+3（k-1），即3k+1個．

解答：解：（1）根據三角形的中位線定理，得每一個三角形的邊長是前邊三角形邊長的

1

2

．
∴△A₃B₃C₃的周長C₃=(

1

2

)2=

1

4

；
△A_nB_nC_n的周長C_n=(

1

2

)(n-1)．
∴第二個三角形的周長C₂是第一個三角形周長的

1

2

，即C₂=

1

2

；
第三個三角形的周長C₃是第二個三角形周長的

1

2

，即C₃=

1

4

；
…C₂₀₀₆=(

1

2

)2005；
Cn=

1

2(n-1)

（2）圖1中互不重疊的三角形有4個，
圖2中互不重疊的三角形有7=4+3個，
圖3中互不重疊的三角形有10=4+3×2個，
按此規律圖k中互不重疊的三角形有4+3（k-1）=3k+1個．
故答案為：（1）

1

2

、

1

4

、(

1

2

)2005、(

1

2

)(n-1)；（2）3k+1．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、圖形的變化類．解答時，把圖形和數據相結合，找出其中的內在聯系，按照規律便能順利解題．