Question

如圖，已知圓O的圓心為O，半徑為3，點M為圓O內的一個定點，OM=，AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M．
（1）當AB=4時，求四邊形ADBC的面積；
（2）當AB變化時，求四邊形ADBC的面積的最大值．

Answer 1

解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OB，OC，
那么AB=2=4，
∴OF=，
又∵OE²+OF²=OM²=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S_{四邊形ADBC}=AB×CD=12；

（2）設OE=x，OF=y，則x²+y²=5，
∵AB=2，CD=2，
∴S_{四邊形ADBC}=AB×CD=2×=2=2，
∴當x²=時，四邊形ADBC的最大面積是13．
分析：（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OB，OC，△OBE是直角三角形，利用勾股定理有AB=2=4，易求OF，易知四邊形FOEM是矩形，從而有OE²+OF²=OM²=5，易求OE=0，那么CD是直徑等于6，從而易求四邊形ADBC的面積；
（2）先設OE=x，OF=y，則x²+y²=5，根據（1）可得AB=2，CD=2，從而易知S_{四邊形ADBC}=AB×CD=2×，結合x²+y²=5，可得S_{四邊形ADBC}=2，從而可求四邊形ADBC的面積的最大值．
點評：本題考查了勾股定理、垂徑定理、二次函數的最值、矩形的判定．解題的關鍵是作出輔助線，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．