Question

已知，如圖：△ABC中，CH是高，∠ACH=2∠ABC，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙0于點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)與∠DCH的平分線CE相交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為5cm，CH=4cm，求線段CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AC是⊙O的切線，只需證明AC⊥CO即可，又∠ACH=2∠ABC，∠COH=2∠ABC，∠HCO+∠COH=90°，可得∠ACH+∠HCO=90°，繼而得證；
（2）CD為直徑，則∠CBE=90°，∠ACF=∠FCH=∠ACH=∠COH=∠OCB，CE平分∠DCH，且∠FCB=90°，可得∠ECB=∠FCB=45°，在Rt△CBE中，CE=BC，又⊙O的半徑為5cm，CH=4cm，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．
解答：解：（1）連接OC，
∵∠ACH=2∠ABC，∠COH=2∠ABC，∠HCO+∠COH=90°
∴∠ACH+∠HCO=90°，
∴AC⊥CO，
∴AC是⊙O的切線．

（2）設(shè)AB與圓O的另一交點(diǎn)為F，
則∠ACF=∠FCH=∠ACH=∠COH=∠OCB，∠DCH的平分線是CE且∠FCB=90°，
∴∠ECB=∠FCB=45°，
∴CD為直徑，
∴∠CBE=90°，
∵CH=4cm，CO=5cm，
∴OH=3cm，BH=OH+OB=8cm，
在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理可得：BC==4cm，
∴CE=BC=×4=4cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．