Question

如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的動點（P異于A、B），∠C=90°，∠B=30°，過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，當

BP

BA

=

 

時，截得的三角形面積為△ABC面積的

1

4

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：根據相似三角形的性質，可得符合條件的直線有4條，再分別討論，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案，解題時注意不要漏解．

解答：解：設P（l_x）截得的三角形面積為S，S=

1

4

S_△ABC，則相似比為1：2，
①第1條l₁，此時P為斜邊AB中點，l₁∥AC，
∴

BP

BA

=

1

2

，
②第2條l₂，此時P為斜邊AB中點，l₂∥BC，
∴

BP

BA

=

1

2

，
③第3條l₃，此時BP與BC為對應邊，且

BP

BC

=

1

2

∴

BP

BA

=

BP BC

cos30°

=

3

4

，
④第4條l₄，此時AP與AC為對應邊，且

BP

AC

=

1

2

，
∴

AP

AB

=

BP AC

sin30°

=

1

4

，
∴

BP

BA

=

3

4

，
∴當

BP

BA

=

1

2

或

3

4

或

3

4

時，截得的三角形面積為Rt△ABC面積的

1

4

，
故答案為：

1

2

或

3

4

或

3

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．