Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=3AD，CD=4AD，E、F為兩腰的中點(diǎn)，下面給出四個(gè)結(jié)論：
①∠BCD=60°           ②∠CED=90°
③△ADE∽△EDC        ④

AE

AB

=

EF

BC

其中正確的有

 

（要求：把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：為了解題方便，可以設(shè)AD為a，根據(jù)條件可知EF為中位線，所以EF=2a且EF∥AD∥BC，依據(jù)平行線的性質(zhì)可以推出△ADE∽△BEC∽△EDC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出ED=2a，結(jié)合CD=4d的長(zhǎng)度，可以知道∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和180°，推出∠DEC=90°，∠EDF=60°，∠ECF=30°，根據(jù)勾股定理，可以求出AE、AB、EF、BC的長(zhǎng)度，即可看出④錯(cuò)誤．

解答：解：設(shè)AD=a，∵BC=3AD，CD=4AD，
∴BC=3a，DC=4a，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E、F為兩腰的中點(diǎn)，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，
∴在△DEC中，∠DEC=90°，
∴△ADE∽△BEC∽△EDC，
∴AD：DE=DE：DC，
∴ED=2a，
∴∠ECF=30°，
∴∠BCD=∠EDF=60°，
∵∠DEC=90°、ED=2a、DC=4a，
∴EC=2

3

a，
∴EB=AE=

3

a，
∴AB=2

3

a，
∵EF=2a，BC=3a，
∴第④項(xiàng)錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定定理和性質(zhì)，直角梯形的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件和相關(guān)的性質(zhì)定理求出各邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)各邊之間的關(guān)系解得相關(guān)角的度數(shù)．