Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AE=8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線DE與圓O相切，理由為：連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由OA=OD，根據等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得出一對內錯角相等，根據內錯角相等兩直線平行得出OD平行于AE，由∠AED為直角，得到∠ODE為直角，即DE垂直于OD，可得出DE為圓O的切線；
（2）法1：過D作DF垂直于AB，交AB于點F，又AE垂直于ED，得到一對直角相等，再由AD為角平分線得到一對角相等，且AD為公共邊，利用AAS三角形ADE與三角形ADF全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出AE=AF，DE=DF，由AF-OA求出OF的長，在直角三角形PDF中，由OD及OF的長，利用勾股定理求出DF的長，即為DE的長；
法2：連接DB，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的角為直角得到一個直角，再由AE垂直于ED得到兩一個直角，兩直角相等，再加上AD為角平分線得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩數三角形相似可得出三角形AED與三角形ABD相似，由相似得比例，將AE及AB的長代入求出AD的長，在直角三角形ADE中，由AD及AE的長，利用勾股定理即可求出DE的長；
法3：過O作OF垂直于AD，根據垂徑定理得到F為AD的中點，且得到一個角為直角，再由DE垂直于AE得到另一個角為直角，進而得到兩直角相等，再由AD為角平分線得到的一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AED與三角形AOF相似，根據相似得比例，將AE及OA的長代入，得到關于AD的方程，求出方程的解得到AD的長，在直角三角形AED中，由AE及AD的長，利用勾股定理即可求出ED的長．
解答：解：（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：
連接OD，如圖所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
又∵點D在⊙O上，
∴直線DE與⊙O相切；

（2）法1：如圖，作DF⊥AB，垂足為F，

∴∠DFA=∠DEA=90°，
∵AD為角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
在△EAD和△FAD中，
∵，
∴△EAD≌△FAD（AAS），又AE=8，
∴AF=AE=8，DF=DE，
∵OA=OD=5，
∴OF=AF-OA=8-5=3，
在Rt△DOF中，OD=5，OF=3，
根據勾股定理得：DF==4，
則DE=DF=4；
法2：如圖，連接DB，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，又∠AED=90°，
∴∠ADB=∠AED，又∠EAD=∠DAB，
∴△EAD∽△DAB，又AE=8，BA=2OA=10，
∴=，即=，
解得：DA=4，
在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，
DE==4；
法3：如圖，作OF⊥AD，垂足為F，

∴AF=AD，∠AFO=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠FAO，
∴△EAD∽△FAO，
∴=，又AE=8，OA=5，AF=AD，
∴=，
解得：DA=4，
在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，
根據勾股定理得：DE==4．
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵，同時本題第二問利用了三種方法求解，注意運用一題多解的方法解題．