Question

（2010•鄂州）如圖，在直角坐標系中，A（-1，0），B（0，2），一動點P沿過B點且垂直于AB的射線BM運動，P點的運動速度為每秒1個單位長度，射線BM與x軸交于點C．
（1）求點C的坐標．
（2）求過點A、B、C三點的拋物線的解析式．
（3）若P點開始運動時，Q點也同時從C點出發，以P點相同的速度沿x軸負方向向點A運動，t秒后，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形．（點P到點C時停止運動，點Q也同時停止運動），求t的值．
（4）在（2）（3）的條件下，當CQ=CP時，求直線OP與拋物線的交點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB⊥BC，則△AOB∽△BOC，由于OB=2OA，則OC=2OB，由此可求出C點的坐標．
（2）設拋物線方程為y=ax²+bx+c（a≠0），三點代入聯立方程解出a、b、c．
（3）根據P、Q的速度，可用t表示出BP、CP、CQ的長，若以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形，那么可分作三種情況考慮：
①CP=CQ，可聯立CP、CQ的表達式，可得到關于t的等量關系式，即可求出此時t的值；
②CQ=QP，過Q作QM⊥BC于M，根據等腰三角形的性質知CM=CP，可通過△CQM∽△CBO所得比例線段，列出關于t的等量關系式，求出此時t的值；
③CP=PQ，過P作PN⊥OC于N，方法與②相同．
（4）在（2）題中已經求得CP=CQ時的t值，此時發現P是BC的中點，根據B、C的坐標，即可得到P點的坐標，易求得直線OP的解析式，聯立拋物線的解析式可求出它與拋物線的交點坐標．
解答：解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）設拋物線方程為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：
，
解得；
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2；
則：BP=t，CP=2-t，CQ=t；
①CP=CQ，則有：2-t=t，
解得：t=；
②CQ=QP，過Q作QM′⊥BC于M′，則有：
CM′=（2-t）；
易證△CQM′∽△CBO，
則：=，
即，
解得：t==；
③CP=PQ，過P作PN⊥OC于N，則：
CN=CQ=t；
易證△CNP∽△COB，則有：，
即，
解得t==；
綜上所述，當t=或或時，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：當CP=CQ時，BP=t==BC，即P是BC的中點，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直線OP的解析式為：y=x；
聯立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴直線OP與拋物線的交點為（1+，），（1-，）．
點評：此題是二次函數的綜合題，主要考查了相似三角形的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法以及等腰三角形的構成條件等重要知識，在等腰三角形腰和底不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解．