Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，⊙O經過A、D、B三點，CB的延長線交⊙O于點E（如圖1）。

在滿足上述條件的情況下，當∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變（如圖2），在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關系。

（1）觀察上述圖形，連結圖2中已標明字母的某兩點，得到一條新線段，證明它與線段CE相等；

（2）在圖2中，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F。

    ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；

    ②若，試用含n的代數式表示sin∠CAB（直接寫出結果）。

 

（1）連結__________________

         求證：_________＝CE

         證明：

（2）解：①

             ②_____________（）

Answer 1

（1）證法一：如圖3，連結OD

    ∵∠ABC＝90°，CB的延長線交⊙O于點E

    ∴∠ABE＝90°    ∴AE是⊙O的直徑

    ∵D是AC的中點，O是AE的中點

        ∴AE＝CE

證法二：如圖4，連結BD

    在Rt△ABC中，∠ABC＝90°

∵D是AC的中點   

∴AD＝CD＝BD     ∴∠1＝∠2

 ∵四邊形AEBD內接于⊙O   

∴∠1＝∠DAE    ∴∠2＝∠DAE    ∴AE＝CE

證法三：如圖5，連結DE

同證法一，得AE是⊙O的直徑    ∴∠ADE＝90°

∵D是AC的中點   

∴DE是線段AC的垂直平分線

    ∴AE＝CE

（2）①解法一：根據題意畫出圖形，如圖6，連結DE。

    ∵EF是⊙O的切線

    ∴∠3＝∠4，且

   

    設，則

   

    ∵AE是⊙O的直徑    ∴∠AEF＝90°

    在Rt△AEF中，

   

   

解法二：根據題意畫出圖形，如圖7，連結DE。

∵AE是⊙O的直徑，EF是⊙O的切線  

 ∴∠ADE＝∠AEF＝90°

    ∴Rt△ADE∽Rt△EDF

   

    設，則

   

    在Rt△CDE中

   

   

    ②（）