Question

（2002•南昌）如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當圓心O從點A出發(fā)，沿著線路AB-BC-CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動．
（1）若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時，AO的長．
（2）在⊙O移動過程中，從切點的個數來考慮，相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應的切點個數．
（3）設⊙O在整個移動過程中，在△ABC內部、⊙O未經過的部分的面積為S，在S＞0時，求S關于r的函數解析式，并寫出自變量r的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求AO的關鍵是求出BO，如果設與BC相切時切點為D的話，可在直角三角形BOD中用半徑的長和∠ABC的正弦值求出BO的長，也就能求出AO的長了．
（2）考慮直線與圓的位置，只需考慮半徑的長以及圓心到直線的距離即可．
當圓的半徑正好等于等邊三角形的高的時候，那么只有圓心在等邊三角形三個頂點時，圓才與等邊三角形相切；
當圓的半徑小于高時（半徑應大于0），在每一條邊運動時都要與三角形的兩邊相切即切點有兩個，那么走完3條邊后切點應有6個；
當圓的半徑大于高的時候，圓與三角形的三邊相交或三角形在圓內，因此沒有切點．
（3）本題的關鍵是求出內部三角形的邊和相應的高．
根據題意我們不難得出內部的三角形應該和三角形ABC相似，即內部的三角形也應該是等邊三角形．
如果設這個三角形為A′B′C′，那么可作出三角形ABC和A′B′C′的高來求解．
連接AA′并延長其交B′C′，BC于E，F，那么A′E就應該是內部三角形的高，如果求出了高就可以通過三角函數求出內部三角形的邊長也就能求出它的面積，因此求A′E長就是解題的關鍵．
我們觀察后發(fā)現，EF=r，而AF可以在三角形ABC中求出，那么關鍵是求A′A，可通過構建直角三角形求解．
過A′作A′G⊥AB于G，那么A′G=r，那么我們可根據∠A′AG的度數用三角函數和r表示出AA′，這樣就能求出A′E和內部三角形的邊長了，那么根據三角形的面積公式就能得出關于S，r的函數解析式了．
解答：解：（1）設⊙O首次與BC相切于點D，則有OD⊥BC．
且OD=r=．
在直角三角形BDO中，
∵∠OBD=60°，
∴OB==2．
∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的邊長為6厘米．可得出它的一邊上的高為3厘米．
①當⊙O的半徑r=3厘米時，⊙O在移動中與△ABC的邊共相切三次，即切點個數為3；
②當0＜r＜3時，⊙O在移動中與△ABC的邊相切六次，即切點個數為6；
③當r＞3時，⊙O與△ABC不能相切，即切點個數為0．

（3）如圖，易知在S＞0時，⊙O在移動中，在△ABC內部為經過的部分為正三角形．
記作△A′B′C′，這個正三角形的三邊分別于原正三角形三邊平行，且平行線間的距離等于r．
連接AA′，并延長AA′，分別交B′C′，BC于E，F兩點．
則AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．
又過點A′作A′G⊥AB于G，則A′G=r．
∵∠GAA′=30°，
∴AA′=2r．
∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=3-3r，
B′C′=A′E=2（-r）．
∴△A′B′C′的面積S=B′C′•A′E=3（-r）²．
∴所求的解析式為S=3（-r）²（0＜r＜3）．
點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系、等邊三角形的性質、解直角三角形等多個知識點．