Question

在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）．
（1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數；
（3）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）解決本題需利用全等，根據正方形一個內角的度數求出∠AOM的度數；
（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子．
解答：解：（1）∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉了45°．
∴OA在旋轉過程中所掃過的面積為．

（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數為45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．
證明：延長BA交y軸于E點，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．
點評：本題用到的知識點是：扇形面積=，求一些線段的長度或角的度數，總要整理到已知線段的長度上或已知角的度數上．