Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點A，CO交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E，求證：AB•CD=AC•AE．

Answer 1

分析：連接AD．要證AB•CD=AC•AE，即證

AC

CD

=

AB

AE

．由△ACD∽△DCE，可得

AC

CD

=

AD

DE

；由△AED∽△BEA，可得

AD

DE

=

AB

AE

．

AB

AE

=

AC

CD

．即可得出AB•CD=AC•AE．

解答：證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切線，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，∴

AC

CD

=

AD

DE

；
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴

AD

ED

=

AB

AE

，
∴

AB

AE

=

AC

CD

．
∴AB•CD=AC•AE．

點評：根據乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，本題可以通過兩組相似三角形的性質得出的比例式綜合應用即可證明．