Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）點P是線段BC上任意一點，連接MP，作∠MPQ=60°，交MC于點Q，求MQ的最小值；
（3）在（2）中：
①當MQ取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由；
②點P在何處時，以點P、M和點A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個數．

Answer 1

（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中點，∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）在等邊三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC
∴△BMP∽△CPQ，
∴
令PC=x，MQ=y，則BP=4-x，QC=4-y
∴=
∴y=x²-x+4=（x-2）²+3，即MQ的最小值為3

（3）①△PQC為直角三角形
由（2）知，當MQ取最小值時，x=PC=2．
∴P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°
∴∠PQC=90°
②當BP=1時，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，則四邊形ABPM四邊形MBPD均為平行四邊形．
當BP=3時，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
則四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形．
∴當BP=1或BP=3時，以點P、M和A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形，
此時平行四邊形有4個．
分析：（1）利用全等三角形的性質求出AB=DC；
（2）利用相似三角形的性質=，列出方程求出一個關于MQ值的函數求最小值即可．
點評：此題主要考查三角形的全等相似性質以及平行四邊形的判定，求函數最小值等知識點．