Question

【題目】拋物線：與軸交于兩點（在的左側），與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及兩點的坐標；

（2）求拋物線的頂點坐標；

（3）將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移個單位長度，得到拋物線．①若拋物線的頂點在內，求的取值范圍；②若拋物線與線段只有一個交點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）①，②或

【解析】

（1）將點代入，即可得到拋物線的解析式；在中，令，即可得到兩點的坐標；

（2）運用配方法，將解析式改寫成頂點式，即可得到頂點坐標；

（3）①先寫出平移后的解析式，求出頂點，再根據頂點在內，需滿足頂點需在軸下方，在直線的右側，的左側，列出關于的不等式組，解出即可；

②分為拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸右側；拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸左側，且在點B的左側；拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸左側，點B為和線段交點三種情況討論.

解：（1）∵將點代入，

∴，

∴，，

∴，

∵,

∴

∴拋物線的解析式為

在中，令，得，，

∵在的左側，∴，

（2）∵即，

∴拋物線的頂點坐標為

（3）①將拋物線平移后的解析式為：，

頂點為（），

若要頂點在內，則頂點需在軸下方，在直線的右側，的左側，

因為，所以，頂點必在軸下方，因為，所以頂點必在的右側，

設直線的解析式為，

∵，，

∴解得，

∴直線的解析式為

當時，.

∴，，

又∵

∴的取值范圍是

②第1種情況，拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸右側，

則拋物線和直線只有一個交點，且頂點的橫坐標小于等于3，

聯立拋物線和直線解析式，

則有兩個相等的根，且小于等于3，

∴，且，

∴；

第2種情況，拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸左側，且在點B的左側，

則點B在拋物線的上側，

即當時，，解得；

第3種情況，拋物線和線段的唯一交點在拋物線對稱軸左側，點B為和線段交點，

時，，且

解得；

綜上所述：或.