Question

已知：如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸、y軸都只有一個交點，分別為A、B且AB=2，又關于x的方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的兩個實數根互為相反數．
（1）求ac的值；
（2）求二次函數的解析式；
（3）過A點的直線與二次函數圖象相交于另一個點C，與y軸的負半軸相交于點D，且使△ABD和△ABC的面積相等，求此直線的解析式并求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的兩個實數根x₁，x₂互為相反數，
∴x₁+x₂=b+2ac=0…①，
又∵函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=b²-4ac=0…②，
解①②得ac=0（舍去），ac=1，
則b=±2，
根據對稱軸x=-＞0且a＞0可知b＜0，故b=-2；

（2）連接AB，由拋物線解析式可知OA=-，OB=c，
在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，
即（-）²+c²=2²，=4，
解得a=（舍去負值），
則c==，
所以，拋物線解析式為y=x²-2x+；

（3）∵y=x²-2x+=（x-）²，
∴A（，0），
∵△ABD和△ABC的面積相等，
∴△ABD和△BCD的BD邊上高的比為1：2，即A、C兩點橫坐標的比為1：2，
由此可得C點橫坐標為2，代入y=（x-）²中，得y=，
則C（2，），
設直線AC解析式為y=kx+n，將A（，0），C（2，）代入，得
，
解得，
所以，直線AC解析式為y=x-，
由于B（0，），C（2，），
所以，S_△ABC=×2×=2．
分析：（1）根據關于x的方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的兩個實數根x₁，x₂互為相反數，得出x₁+x₂=b+2ac=0，又由二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，得出△=b²-4ac=0，聯立可求ac及b的值；
（2）連接AB，由拋物線解析式可知OA=-，OB=c，在Rt△AOB中，利用勾股定理求a的值，再求c的值，確定拋物線解析式；
（3）當△ABD和△ABC的面積相等時，△ABD和△BCD同底BD，則BD邊上高的比為1：2，即A、C兩點橫坐標的比為1：2，根據A點橫坐標可求C點橫坐標，代入拋物線解析式求C點縱坐標，利用“兩點法”可求直線AC的解析式．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是結合拋物線與x軸的交點只有一個，二元一次方程的兩根互為相反數列出方程組求ac及b的值，根據三角形的面積關系求A、C兩點橫坐標的關系．