Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ （0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（Ⅰ）如圖①，當AB∥CB′時，設A′B′與CB相交于點D．證明：△A′CD是等邊三角形；
（Ⅱ）如圖②，連接AA′、BB′，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S₁、S₂．求證：S₁：S₂=1：3；
（Ⅲ）如圖③，設AC的中點為E，A′B′的中點為P，AC=a，連接EP．求當θ為何值時，EP的長度最大，并寫出EP的最大值 （直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當AB∥CB′時，∠BCB′=∠B=∠B′=30°，則∠A′CD=90°-∠BCB′=60°，∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°，可證：△A′CD是等邊三角形；
（2）由旋轉的性質可證△ACA′和△BCB′，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP，當E、C、P三點共線時，EP最長，根據圖形求出此時的旋轉角及EP的長．
解答：（Ⅰ）證明：如圖①，
∵AB∥CB'，
∴∠BCB'=∠ABC=30°，
∴∠ACA'=30°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A'CD=60°．
又∵∠CA'B'=∠CAB=60°，
∴△A'CD是等邊三角形．

（Ⅱ） 證明：如圖②，
∵AC=A'C，BC=B'C，
∴．
又∵∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'．
∵=tan30°=，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1：3．

（Ⅲ）當θ=120°時，EP的長度最大，EP的最大值為．
解：如圖，連接CP，當△ABC旋轉到E、C、P三點共線時，EP最長，
此時θ=∠ACA′=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=A′B′=a，
∵AC中點為E，A′B′中點為P，∠A′CB′=90°
∴CP=A′B′=a，EC=a，
∴EP=EC+CP=a+a=a．
點評：本題考查了旋轉的性質，特殊三角形的判定與性質，相似三角形的判斷與性質．關鍵是根據旋轉及特殊三角形的性質證明問題．