Question

附加題
對于二次函數y=-x²+8x-6和一次函數y=3x-4，把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線C．現有點A（2，4）和拋物線C上的點B（-3，n），請完成下列任務：
【嘗試】
（1）判斷點A是否在拋物線C上；
（2）求n的值
【發現】
     通過（1）和（2）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線C總過固定的兩點，則這兩點的坐標分別是

（2，4），（-3，-26）

．
【應用】
     二次函數y=4x²-6x+9是二次函數y=-x²+8x-6和一次函數y=3x-4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A（2，4）代入“再生二次函數”解析式中，若等式左右兩邊相等，則可以判斷點A是否在拋物線C上；
（2）把點B（-3，n）代入“再生二次函數”解析式中，使等式左右兩邊相等，即可求出n的值；
發現：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）變形為y=t（-x²-x+6）+6x-8，令-x²-x+6=0，解出x的值，即可求出兩個點的坐標；
應用：若二次函數y=4x²-6x+9是二次函數y=-x²+8x-6和一次函數y=3x-4的一個“再生二次函數”，則固定兩點的坐標代入“再生二次函數”解析式中，求出t的值即可．

解答：解：（1）把點A（2，4）代入“再生二次函數”解析式y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
4=6t+4-6t，左邊等于右邊，
則點A在拋物線C上；

（2）把點B（-3，n）代入“再生二次函數”解析式y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
n=t（-9-24-6）+（2-3t）（-9-4），
n=-39t-26+39t=-26，
則n的值為-26；

發現：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）變形為y=t（-x²-x+6）+6x-8，
若對于t取任何不為零的實數，拋物線C總過固定的兩點，
則-x²-x+6=0，
解得x₁=2，x₂=-3，
當x=2時，y=4，
當x=-3時，y=-26；
則這兩點的坐標分別是（2，4），（-3，-26）；

應用：若二次函數y=4x²-6x+9不是二次函數y=-x²+8x-6和一次函數y=3x-4的一個“再生二次函數”；
則二次函數y=4x²-6x+9過點（2，4），（-3，-26）；
經過檢驗二次函數y=4x²-6x+9不過（2，4），（-3，-26）這兩點，
所以t的值不存在．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題，解答此題的關鍵是理解新定義“再生二次函數”，此題難度不大，如果解答思路不理清晰，此題也不是很容易得全分．