Question

【題目】如圖1，拋物線W：y＝ax2﹣2的頂點為點A，與x軸的負半軸交于點D，直線AB交拋物線W于另一點C，點B的坐標為（1，0）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）過點C作CE⊥x軸，交x軸于點E，若AC平分∠DCE，求拋物線W的解析式；

（3）若a＝，將拋物線W向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線W1，如圖2，記拋物線W1的頂點為A1，與x軸負半軸的交點為D1，與射線BC的交點為C1．問：在平移的過程中，tan∠D1C1B是否恒為定值？若是，請求出tan∠D1C1B的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣2；（2）y＝x2﹣2；（3）tan∠D1C1B恒為定值，，見解析

【解析】

（1）由待定系數法可求解析式；

（2）如圖1，過點作于，通過證明，可得，由平行線分線段成比例可求，可得，，設，，則，，由勾股定理可求，可求點，點坐標，代入解析式可求的值，即可求拋物線的解析式；

（3）先求出點的坐標，如圖2，過點作軸，過點作軸，可證，可得，如圖3，過點作于點，由勾股定理和直角三角形的性質可求，，的長，即可求．

解：（1）∵拋物線W：y＝ax2﹣2的頂點為點A，

∴點A（0，﹣2）

設直線AB解析式為y＝kx+b，

∴

解得

∴拋物線解析式為：y＝2x﹣2；

（2）如圖1，過點B作BN⊥CD于N，

∵AC平分∠DCE，BN⊥CD，BE⊥CE，

∴BN＝BE，

∵∠BND＝∠CED＝90°，∠BDN＝∠CDE，

∴△BND∽△CED，

∴，

∴，

∵AO∥CE，

∴＝

∴CE＝2BE，CD＝2DB，

設BE＝x，BD＝y，則CE＝2x，CD＝2y，

∵CD2＝DE2+CE2，

∴4y2＝（x+y）2+4x2，

∴（x+y）（5x﹣3y）＝0，

∴y＝x，

∴點C（x+1，2x），點D（1﹣x，0）

∵點C，點D是拋物線W：y＝ax2﹣2上的點，

∴

∴x+1＝（1﹣x）2，

∴x1＝0（舍去），x2＝，

∴0＝a（1﹣）2﹣2，

∴a＝，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2；

（3）tan∠D1C1B恒為定值，

理由如下：由題意可得拋物線W1的解析式為：y＝x2﹣2﹣m，

設點D1的坐標為（t，0）（t＜0），

∴0＝t2﹣2﹣m，

∴2+m＝t2，

∴拋物線W1的解析式為：y＝x2﹣t2，

∵拋物線W1與射線BC的交點為C1，

∴

解得：，（不合題意舍去），

∴點C1的坐標（2﹣t，2﹣2t），

如圖2，過點C1作C1H⊥x軸，過點C作CG⊥x軸，

∴C1H＝2﹣2t，OH＝2﹣t，

∴D1H＝D1O+OH＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，

∴C1H＝D1H，且C1H⊥x軸，

∴∠C1D1H＝45°，

∵y＝x2﹣2與x軸交于點D，

∴點D（﹣2，0）

∵y＝2x﹣2與y＝x2﹣2交于點C，點A

∴點C（4，6）

∴GC＝6，DG＝OD+OG＝2+4＝6，

∴DG＝CG，且CG⊥x軸，

∴∠GDC＝45°＝∠C1D1H，

∴C1D1∥CD，

∴∠D1C1B＝∠DCB，

∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，

如圖3，過點B作BF⊥CD于點F，

∵∠CDB＝45°，BF⊥CD，BD＝OD+OB＝2+1＝3，

∴∠FDB＝∠FBD＝45°，

∴DF＝BF，DB＝DF＝3，

∴DF＝BF＝

∵點D（﹣2，0），點C（4，6），

∴CD＝＝6，

∴CF＝CD﹣DF＝，

∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB＝＝，

∴tan∠D1C1B恒為定值．