Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F．

(1)證明：△AC C′∽△AB B′；

(2)設∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關系時AC＝BF，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)β＝2α時AC＝BF.

【解析】

（1）Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，可得AC＝AC′，AB＝AB′，∠CA C′＝∠B AB′，再根據，即可證明△AC C′∽△AB B′；（2）欲證AC＝BF，需證△AEC≌△FEB，則需證BE＝CE，由已知可證∠BCE＝∠ABC=a，即β＝2α時，△AEC≌△FEB，故得證.

解：(1)證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的

∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CA C′＝∠B AB′

∴

∴△AC C′∽△AB B′

(2)當β＝2α時AC＝BF

證明：∵AC＝AC′

∴∠AC C′＝∠A C′C＝(180°－∠C AC′)＝90°－β＝90°－α

∵∠BCE＝∠ACB－∠A C C′＝90°－(90°－α)＝α

∴∠BCE＝∠ABC

∴BE＝CE

∵∠ACE＝∠ABF，∠AEC＝∠FEB

∴△AEC≌△FEB

∴AC＝BF.