Question

（2013•玉林）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：
甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形．
乙：分別作∠A，∠B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于E，F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．
根據兩人的作法可判斷（　　）

A．甲正確，乙錯誤

B．乙正確，甲錯誤

C．甲、乙均正確

D．甲、乙均錯誤

Answer 1

分析：首先證明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形ANCM是平行四邊形，再由AC⊥MN，可根據對角線互相垂直的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．

解答：解：甲的作法正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分線，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中

∠MAO=∠NCO AO=CO ∠AOM=∠CON

，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∵AC⊥MN，
∴四邊形ANCM是菱形；
乙的作法正確；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形；
故選：C．

點評：此題主要考查了菱形形的判定，關鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．